अविभाज्य संख्या : ज्या संख्येला १ किंवा ती स्वतः यांखेरीज दुसऱ्या कोणत्याही संख्येने भाग जात नाही, तिला 'अविभाज्य संख्या' म्हणतात. उदा., २, ३, ५, ७, ११, १३ इ. आणि १ वगळता बाकीच्या संख्यांना 'संयुक्त संख्या' म्हणतात. उदा., ४, ६, ८, ९,...इ. १, २, ३,... इ. धन पूर्णांकांना 'स्वाभाविक संख्या' म्हणतात. प्रस्तुत लेखात सर्वत्र 'संख्या' म्हणजे 'स्वाभाविक संख्या' असे समजावे. संख्यांचे एकूण तीन गट पडतात :
(अ) ल ही अविभाज्य असले किंवा
(आ) ती संयुक्त असेल.
जर ल ही अविभाज्य असेल, तर ही संख्या आरंभीच्या प१, प२, ..., पक ह्या सर्व अविभाज्य संख्यांहून मोठी असल्याने 'इतक्याच अविभाज्य संख्या आहेत' हे आरंभीचे गृहीत चूक होईल; म्हणजेच अविभाज्य संख्या अनंत आहेत, हे सिद्ध होते. जर ल ही संख्या संयुक्त आहे असे मानले, तर तिला प१, प२, ..., पक यांपैकी कोणत्याच अविभाज्य संख्येने निःशेष भाग जात नसल्याने आणखी एका अविभाज्य संख्येने तिला भाग गेला पाहिजे. म्हणजे पुन्हा 'इतक्याच अविभाज्य संख्या आहेत' हे गृहीत चूक ठरून मूळ विधान सिद्ध होते. स या दिलेल्या संख्येपर्यंतच्या अविभाज्य संख्या मिळविण्याची एक पद्धत एराटॉस्थीनीझ (इ. स. पू. २७६ ?-१९५ ?) यांनी दिली आहे. २ पासून स पर्यंतच्या संख्या क्रमाने लिहाव्यात.
नंतर २ सोडून २ च्या पाढ्यातील सर्व संख्या म्हणजे ४, ६, ८,... ह्या खोडाव्यात. मग २ नंतरची ३ ही अविभाज्य संख्या न खोडलेली अशी दिसेल. त्यानंतर ३ सोडून ३ च्या पाढ्यातील सर्व संख्या खोडाव्यात. मग ५ ही अविभाज्य संख्या मिळेल. इत्यादी. ह्या पद्धतीला 'एराटॉस्थीनीझ चाळणी' असे अन्वर्थक नाव आहे. दिलेल्या कोणत्याही संख्येची अविभाज्य संख्यांच्या अवयवांत विघटन करता येते आणि अवयवांचा क्रम सोडला तर हे विघटन एकाच प्रकारे करता येते, हा एक महत्त्वाचा सिद्धांत असून त्याला 'अनन्य अवयवीकरण-प्रमेय' असे म्हणतात. अविभाज्य संख्या मिळविण्याकरिता सूत्र मांडण्याच्या अनेक गणितज्ञांनी प्रयत्न केला. परंतु अविभाज्य संख्यांना सूत्रात बसविण्याचे सर्व पर्यत्न असफल झालेले आहेत. पुढील सूत्रे ह्या दृष्टीने मांडण्यात आली होती.
प या घन संख्येपर्यंतच्या अविभाज्य संख्यांची संख्या p(प) या चिन्हाने दर्शविल्यास p(प)/प या गुणोत्तराविषयी काय म्हणता येईल? तसेच प-वी अविभाज्य संख्या अप ने दर्शविल्यास अप आणि प यांचे संबंध काय असतील? ह्याविषयी लझांद्र (१७५२-१८३३) व गौस (१७७७-१८५५) यांनी पुढील प्रमेय मांडले. प अनंतोपगामी असता (प चे मूल्य अनंताप्रत होत असताना) p(प)/(प/लॉग प) आणि अप/(प लॉग प) यांच्या सीमा १ असतात. . या प्रमेयाची सिद्धता १८९६ मध्ये द ला वाले पूसँ आणि हादामार्द यांनी दिली.(प) चे आसन्न (स्थूल) मूल्य प/लॉग प या सूत्राने मिळते परंतु यापेक्षा अधिक अचून आसन्न मूल्य प ∫ (लॉग क्ष)-१ क्ष ह्या सूत्राने मिळते.
२ अविभाज्य संख्यांसंबंधीचे पुढील प्रश्न अजूनही अनिर्णित आहेत :
संदर्भ : Courant, R.; Robbins, H. What Is Mathematics?, London, 1961.
लेखक - चिं. शं. इनामदार
स्त्रोत - मराठी विश्वकोश
अंतिम सुधारित : 7/18/2020